Důkaz implikace

Přímý

#definice Přímý důkaz

Přímý důkaz implikace sestává z konečného počtu kroků (korektních úsudků), kterým dostaneme řetězec důsledků vedoucí k .
Tedy pokud existuje konečná posloupnost formulí taková, že platí současně

,

pak platí .

Příklad: "Buď . Je-li a liché, pak je i liché."

ářěééé

Nepřímý (obměna)

#definice Nepřímý důkaz

Nepřímý důkaz implikace využívá zákon zákon kontrapozice. Tedy, že pokud je pravdivá obměněná implikace , pak je pravdivá i .

Příklad: "Buď . Je-li liché, pak jsou i a liché."
Dokážeme obměnu: "Buď . Je-li nebo sudé, pak je i sudé."

Bez újmy na obecnosti (BÚNO) předpokládejme, že je sudé,

ééé

Sporem

#definice Důkaz sporem

Důkaz sporem implikace vychází z pravdivosti ekvivalence

Předpokládáme při něm, že platí předpoklad a současně negace závěrů .
Dojdeme-li ke kontradikci (k onomu sporu), původní implikace je pravdivá.

Příklad: "Dokážeme sporem, že není racionální číslo."
Chceme dokázat: je iracionální

  • Pro spor budeme předpokládat, že a že je racionální.
  • Vyvodím z toho nesmysl (spor), a tím dokážeme, že je iracionální

Důkaz:
Pro spor předpokládejme, že je racionální číslo, tedy existují nesoudělná přirozená čísla taková, že
Tedy , z čehož plyne , tedy nutně je násobek tří, tedy

Po dosazení a dále
je také nutně násobek tří, spor s předpokladem.

Rozborem případů

#definice Důkaz rozborem případů

Důkaz rozborem případů lze aplikovat v případě, že předpoklad implikuje disjunkci několika alternativ. Vyplývá-li z každé z nich , tvrzení platí.

Příklad: " je dělitelné dvěma pro každé "

Lze řešit rozborem na 2 případy:

V každém z těchto případů přímočaře dosadíme za a dojdeme k závěru, že daný výraz je sudý.

éé

Vytvořeno: 7. 8. 2024, 13:25
Poslední aktualizace: 7. 8. 2024, 13:25